움직도르래+고정도르래+용수철

질량이 $m$인 물체가 움직도르래와 고정도르래에 열결되어있다. 움직도르래에는 용수철 상수가 k인 용수철이 연결되어 있다. 물체가 바닥으로부터의 높이 $h_0$를 중심으로 상하 방향으로 1차원 단진동을 할 때, 이 물체의 라그랑지안$L$을 구하라. 그리고 이로부터 물체의 운동방정식과 진동주기를 구하라

계의 라그랑지안L은 다음과 같다.
$$L=T-V\tag{1}$$
여기서 $T$와 $V$는 각각 운동에너지와 퍼텐셜 에너지이며, 다음과 같다.

$$\begin{align*} &T=\frac{1}{2}m\dot x^2 &\text{(2)}\\ &V=\frac{1}{2}k(\frac{1}{2}x)^2 &\text{(3)}\\ \end{align*}$$

이 때, 퍼텐셜에너지가 $0$인 기준면을 평형점으로 하였다.
(3)에 (1), (2)를 대입하여 정리하면, 다음과 같이 $L$을 구할 수 있다.
$$L=T-V\\[1ex] L=\frac{1}{2}m\dot x^2-\left[\frac{1}{2}k(\frac{1}{2}x)^2\right]\\[1ex] L=\frac{1}{2}m\dot x^2-\frac{1}{8}kx^2\\$$
라그랑지 운동방정식은 다음과 같다.
$$\frac{d}{dt}\frac{dL}{d\dot x}-\frac{dL}{dx}=0\\[1ex] \frac{d}{dt}\frac{d}{d\dot x}\left [\frac{1}{2}m\dot x^2-\frac{1}{8}kx^2\right]-\frac{d}{dx}\left [\frac{1}{2}m\dot x^2-\frac{1}{8}kx^2\right]=0\\[1ex] \frac{d}{dt}[m\dot x] +\frac{1}{4}kx=0\\[1ex] \ddot x +\frac k{4m}x=0\\[1ex]$$
미분방정식의 일반해의 형태로 부터 $\omega^2=\frac k{4m}$이므로 주기 $T$는 다음과 같다.
$$\omega^2=\frac k{4m}\\[1ex] \frac{2\pi}{T}=\sqrt{\frac k{4m}}\\[1ex] T=4\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

내가 헷갈리는 부분
위 문제 풀이에서는 퍼텐셜에너지의 기준점을 평형점으로 잡고 문제를 풀었다. 꼭 이렇게 풀지 않아도 된다. 용수철의 고유길이를 평형점으로 잡아도 되고 지표면으로 잡아도 된다. 어디로 잡느냐에 따라 라그랑지안$L$의 상수항만 달라지게 된고 운동방정식은 모두 같다.
그런데 퍼텐셜 에너지 기준면을 위 풀이 처럼 평형점으로 잡았을 때 중력 퍼텐셜 에너지는 고려하지 않는다. 탄성퍼텐셜에너지만 고려한다. 이게 왜 그런지 모르겠다.

• 추측
  평형점으로 부터 기준점을 잡게 되면 질량이 매달려 있지 않은 용수철로 볼 수 있어서?

거꿀4제곱 중심힘을 받는 입자의 유효퍼텐셜에너지

2차원 평면에서 질량$m$인 입자가 $\vec F = -k\frac{1}{r^4}\hat r$인 중심력을 받아 운동하고 있다. 입자의 각운동량의 크기는 $L$이고, $r=\infin$에서 퍼텐셜 에너지는 $0$입자의 유효 퍼텐셜 에너지 $U_{eff}(r)$을 구하라

또한 입자가 운동 할 때, 회전 반지름 $r_0$를 구하고, 운동 에너지를 $m, k, L$로 기술하라

유효퍼텐셜에너지 $U_{eff}$는 다음과 같다.
$$U_{eff}=\frac{L^2}{2mr^2}+U(r) \qquad{(1)}$$

이때 퍼텐셜에너지$U_{r}$은 정의로부터 다음과 같이 구할 수 있다.
$$\varDelta U_{(r)}=\int_r^\infin \vec F_{(r)} \cdot d\vec r\\ -(U_{(\infin)}-U_{(r)})=\int_r^\infin F d r\cos(\pi)\\[1ex] U_{(r)}=-\int_r^\infin k\frac{1}{r^4} d r\\[1ex] U_{(r)}=\int_\infin^r k\frac{1}{r^4} d r\\[1ex] U_{(r)}= -k\frac{1}{3}r^{-3}\qquad{(2)}\\$$
(2)를 (1)에 대입하면 $U_{eff}$는 다음과 같다.
$$U_{eff}=\frac{L^2}{2mr^2}+ -k\frac{1}{3}r^{-3}$$

입자가 원운동 할 조건은 $\frac{dU_{eff}}{dr}|_{r_0}=0$ 이다. 이로부터 $r_0$를 구하면 다음과 같다.
$$\frac{dU_{eff}}{dr}|_{r_0}=0\\[1ex] \left [\frac{-L^2}{m}r^{-3}+kr^{-4} \right ]_{r_0}=0\\[1ex] \frac{-L^2}{m}r_0^{-3}+kr_0^{-4}=0\\ kr_0^{-4}=\frac{L^2}{m}r_0^{-3}\\[1ex] r_0^{-1}=\frac{L^2}{mk}\\[1ex] r_0=\frac{mk}{L^2}\\$$
입자가 원 운동 할 때 운동에너지$T$는
$$\begin{align*} T&=\frac{L^2}{2mr_0^2}\\ &=\frac{L^2}{2m}\frac{L^4}{m^2k^2}\\[1ex] &=\frac{L^6}{2m^3k^2}\\ \end{align*}$$
이다.

양 끝에 물체가 달린 스프링이 바닦에 놓여 있을 때

그림과 같이 용수철 상수 $k$인 용수철에 질량이 $m$과 $3m$인 물체가 연결되어 있다. 질량이 $3m$인 물체는 바닥에 놓여 있고 질량이 $m$인 물체는 용수철에 연결되어 지면 위에 있다. 초기 $t=0$일 때 질량이 $m$ 물체는 평형점으로부터 $\delta = \frac {5mg}{k}$ 아래 위치로 압축되어 있다가 운동하기 시작한다.

용수철이 고유길이로부터 물체의 평형점 위치까지의 거리 $x_0$를 구하시오. 또한 바닥이 질량 $3m$물체에 작용하는 힘의 크기가 $mg$일 때, 질량 $m$의 속력 $v$를 구하시오.

$m$에 작용하는 힘은 용수철의 복원력과 중력이 있다. 물체가 받는 알짜힘을 $\sum \vec F_m$라 하면 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$\sum \vec F_m= -k\vec x_0 + m\vec g$$
평형점에서 $m$은 정지하므로 물체에 작용하는 알짜힘 $\sum \vec F_m$는 0이다. 즉 ,
$$0= -k\vec x_0 + m\vec g\\ k\vec x_0= m\vec g\\ \vec x_0= \frac {m}{k}\vec g\\[1ex] x_0= \frac {m}{k} g\\$$ 이다.

위쪽 방향을 $y$가 증가하는 방향으로 할 때, $3m$에 작용하는 힘은 용수철의 복원력$\vec {F_k}$과 중력$3m\vec g$, 수직항력$\vec N$이 있다.
문제에서 바닥이 질량 $3m$에 작용하는 힘의 크기가 $mg$라고 하였으므로 $\vec N=m\vec g$이다.
$3m$이 바닥에서 안 움직인다면 $\sum \vec F_{3m}$은 $0$이므로
$$\sum \vec F_{3m}= \vec N +\vec {F_k} +3m\vec g\\ 0= m g\hat y +\vec {F_k} -3mg \hat y\\ \vec {F_k}=2m g\hat y$$
$\vec {F_k}$가 위쪽 방향으로 작용함을 알 수 있다.

즉, 용수철이 $3m$을 위쪽 방향으로 당기고 있는것이다. 이러한 상황은 질량$m$이 평형점으로부터 위쪽 방향에 위치한 경우이다.
질량$m$인 물체가 평형점으로부터 떨어진 임의의 위치를 $\vec\delta$라고 하고, $\vec N=mg \hat y$가 되는 질량 $m$위치는 $\vec\delta=\vec\delta_0$라고 하자.
그러면 질량$m$에 작용하는 용수철의 복원력은 $-k\vec\delta_0$이다. 질량$3m$에 작용하는 용수철의 복원력$\vec {F_k}$은 크기는 같고 힘의 방향은 반대이므로 $k\vec\delta_0$이다.

즉, 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$\vec {F_k}=2mg \hat y =k\vec\delta_0\\$$
힘의 크기만 고려하면
$${F_k}=2m g =k\delta_0\\ \delta_0 =\frac {k}{2m g}$$
이다.

문제에서 질량$m$이 평형점으로부터 $\delta = \frac {5mg}{k}$ 아래 위치로 압축되어 있다가 운동하기 시작한다고 하였다. 즉, 질량$m$의 최대변위 $\delta_{max}$ 가 $\frac {5mg}{k}$이다.
따라서 전체 역학적 에너지$E$는
$$E=\frac{1}{2}k\delta_{max}^2$$
이다.

역학적 에너지$E$는 운동에너지$T$와 퍼텐셜에너지$V$의 합이다. 질량$m$이 $\delta_0$위치할 때 $T$와 $V$는 각각, $\frac{1}{2}mv^2$, $\frac{1}{2}k(\delta_{max}-\delta_0)^2$이다.
이를 정리하여 다음과 같이 $v$를 구할 수 있다.
$$E=T+V\\ \frac{1}{2}k\delta_{max}^2=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}k(\delta_{max}-\delta_0)^2\\[1ex] \frac{1}{2}k\delta_{max}^2-\frac{1}{2}k(\delta_{max}-\delta_0)^2=\frac{1}{2}mv^2\\[1ex] v=\left [\frac{k}{m} \left ( 2\delta_{max}\delta_0- \delta_0^2 \right ) \right ]^\frac{1}{2}\\ v=\left [ \frac{k}{m} \left ( \frac{20m^2g^2}{k^2}- \frac{4m^2g^2}{k^2}\right ) \right ]^\frac{1}{2}\\[1ex] v=4g\sqrt \frac{m}{k}$$