바이킹처럼 움직이는 막대의 운동방정식

(중등임용 전공물리 20년도 A12)바이킹처럼 움직이는 막대의 운동방정식

그림은 가느다란 막대가 연직면 상에 반지름$R$인 고정된 원궤도를 따라 연직선을 중심으로 진동하는 모습을 나타낸 것이다. 막대의 질량은 $m$, 길이는 $\sqrt3R$이고, 막대와 원궤도 사이에 마찰은 없다. 막대가 진동하는 동안 원궤도의 중심 $O$와 막대의 질량 중심 $C$사이의 거리는 $\frac R2$로 일정하고, $\theta$는 연직선과 선분 $\overline {OC}$가 이루는 각이다. $\theta = 0$에서 막대의 중력 퍼텐셜 에너지는 0이다.

연직면에 수직하고 중심 $O$를 지나는 회전축에 대한 막대의 관성 모멘트 $I_0$를 구하고, $\theta$에 대한 운동방정식을 구하시오.

막대의 질량중심 관성모멘트를 $I_{cm}$, 막대의 질량중심에서 중심$O$까지의 거리를 $\frac R2$이라고 할 때, $I_0$는 수직축 정리에 따라 다음과 같이 구할 수 있다.
$$I_0=I_{cm}+m(\frac{R}{2})^2$$
질량이$m$이고 길이가 $\sqrt3R$이며 밀도가 균일한 가느다란 막대의 질량 중심을 지나는 회전축에 대한 관성 모멘트$I_{cm}$는 $\frac{1}{12}m(\sqrt3R)^2$이다. 따라서$I_0$는
$$I_0=\frac{1}{12}m(\sqrt3R)^2+m(\frac{R}{2})^2\\ I_0=\frac{1}{4}mR^2+m(\frac{R^2}{4})\\ I_0=\frac{1}{2}mR^2$$
이다.

막대의 라그랑지안 $L$은 다음과 같다.
$$L=T-V$$
여기서 운동에너지 $T$와 퍼텐셜에너지$V$는 각각 다음과 같다.
$$\begin{align*} T&=\frac{1}{2}I_0\dot \theta^2\\[2ex] &=\frac12(\frac{1}{2}mR^2)\dot {\theta}^2\\[2ex] &=\frac{1}{4}mR^2\dot {\theta}^2\\[2ex] \end{align*}$$
$$\begin{align*} V=mg(\frac{R}{2}-\frac{R}{2}\cos\theta)\\[2ex] V=\frac{R}{2}mg(1-\cos\theta)\\[2ex] \end{align*}$$
따라서 $L$은
$$L=T-V\\ L=\frac{1}{4}mR^2\dot {\theta}^2-\frac{R}{2}mg(1-\cos\theta)\\$$
이다.

라그랑지 방정식은 다음과 같고 이를 풀어 운동방정식을 구할 수 있다.
$$\frac{d}{dt}\frac{dL}{d\dot \theta}-\frac{dL}{d \theta} =0\\[1ex] \frac{d}{dt}\frac{d}{d\dot \theta}\left [\frac{1}{4}mR^2\dot {\theta}^2-\frac{R}{2}mg(1-\cos\theta)\right] -\frac{d}{d\theta}\left [\frac{1}{4}mR^2\dot {\theta}^2-\frac{R}{2}mg(1-\cos\theta)\right]=0\\[1ex] \frac{1}{2}mR^2\ddot\theta-[-\frac{R}{2}mg(\sin\theta)]=0\\[1ex] \ddot\theta+\frac{g}{R}(\sin\theta)=0\\[1ex]$$