거꿀4제곱 힘을 받는 입자의 유효퍼텐셜

거꿀4제곱 중심힘을 받는 입자의 유효퍼텐셜에너지

2차원 평면에서 질량$m$인 입자가 $\vec F = -k\frac{1}{r^4}\hat r$인 중심력을 받아 운동하고 있다. 입자의 각운동량의 크기는 $L$이고, $r=\infin$에서 퍼텐셜 에너지는 $0$입자의 유효 퍼텐셜 에너지 $U_{eff}(r)$을 구하라

또한 입자가 운동 할 때, 회전 반지름 $r_0$를 구하고, 운동 에너지를 $m, k, L$로 기술하라

유효퍼텐셜에너지 $U_{eff}$는 다음과 같다.
$$U_{eff}=\frac{L^2}{2mr^2}+U(r) \qquad{(1)}$$

이때 퍼텐셜에너지$U_{r}$은 정의로부터 다음과 같이 구할 수 있다.
$$\varDelta U_{(r)}=\int_r^\infin \vec F_{(r)} \cdot d\vec r\\ -(U_{(\infin)}-U_{(r)})=\int_r^\infin F d r\cos(\pi)\\[1ex] U_{(r)}=-\int_r^\infin k\frac{1}{r^4} d r\\[1ex] U_{(r)}=\int_\infin^r k\frac{1}{r^4} d r\\[1ex] U_{(r)}= -k\frac{1}{3}r^{-3}\qquad{(2)}\\$$
(2)를 (1)에 대입하면 $U_{eff}$는 다음과 같다.
$$U_{eff}=\frac{L^2}{2mr^2}+ -k\frac{1}{3}r^{-3}$$

입자가 원운동 할 조건은 $\frac{dU_{eff}}{dr}|_{r_0}=0$ 이다. 이로부터 $r_0$를 구하면 다음과 같다.
$$\frac{dU_{eff}}{dr}|_{r_0}=0\\[1ex] \left [\frac{-L^2}{m}r^{-3}+kr^{-4} \right ]_{r_0}=0\\[1ex] \frac{-L^2}{m}r_0^{-3}+kr_0^{-4}=0\\ kr_0^{-4}=\frac{L^2}{m}r_0^{-3}\\[1ex] r_0^{-1}=\frac{L^2}{mk}\\[1ex] r_0=\frac{mk}{L^2}\\$$
입자가 원 운동 할 때 운동에너지$T$는
$$\begin{align*} T&=\frac{L^2}{2mr_0^2}\\ &=\frac{L^2}{2m}\frac{L^4}{m^2k^2}\\[1ex] &=\frac{L^6}{2m^3k^2}\\ \end{align*}$$
이다.