반입자의 최초 발견:(양전자e+)

칼앤더슨

수업 중, 안개 상자의 사진에 나타난 예기치 못했던 입자의 자취(track)를 전자와 같은 질량을 갖고 있으나, 정반대의 전하를 갖는 입자라고 정확히 해석해 냈다. 이 발견은 1932년에 발표되었고, 나중에 다른 사람들에 의해서 확인되었다. 또한, 양전자의 존재에 대한 폴 디랙의 이론적 예측에 대한 증명이 되었다.https://ko.wikipedia.org/wiki/칼_데이비드_앤더슨

새로운 입자 관측

앤더슨은 자기장을 걸어준 검판에 새로운 궤적이 생겼음을 확인하였다. 그렇다면 이 입자는 무엇인가?

우선, 로렌츠 힘$F$와 구심력은 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$m\frac{v^2}{r}=F=qvB\\[1ex] \frac{q}{m}=\frac{v}{rB}\\$$
여기서 $v$는 속도, $r$은 궤도 반지름으로 측정가능하다(속도는 어떻게 측정했는지 모르겠다. 암튼책에서는 그렇다 함). $B$는 자기장으로 크기와 방향을 알고 있다. 따라서 이를 통해 $\frac{q}{m}$의 값을 알 수 있었다. 당시 앤더슨의 스승은 밀리컨이었다. 전하량과 질량의 비는 잘 알고 있었고 측정된 $\frac{q}{m}$값이 전하의 것과 동일하다는 것을 알게 된다. 그렇다면 이 입자의 부호는 무엇인가?

부호를 확인하기 위해서는 입자의 경로를 알아야 한다. 검판은 궤적은 보여주지만 입사방향과 탈출방향을 알려주지는 않는다.
그래서 앤더슨은 검판 가운데 쇠막대를 둔다. 입자는 쇠막대와 충돌후 운동에너지를 잃어버리고 속력이 감소할 것이다. 속력과 반지름의 관계는
$$r=\frac{mv}{qB}\\$$
이다. 즉, r $\varpropto v$이므로 탈출 방향의 궤적은 금속 막대와 충돌하기 전 보다 더 작은 반지름을 가질 것이다.

즉, 검판에서 위쪽 궤적의 반지름이 더 작으므로 입자의 이동방향이 아래에서 위임을 알 수 있다.

이를 통해 중심방향 힘 $F$와 $\vec v \times \vec B$ 의 방향이 같으므로 $q>0$임을 알 수 있다.

이를통해 검판의 미지의 입자의 궤적이 양전자임을 밝혔다.

(중등임용 전공물리 20년도 A12)바이킹처럼 움직이는 막대의 운동방정식

그림은 가느다란 막대가 연직면 상에 반지름$R$인 고정된 원궤도를 따라 연직선을 중심으로 진동하는 모습을 나타낸 것이다. 막대의 질량은 $m$, 길이는 $\sqrt3R$이고, 막대와 원궤도 사이에 마찰은 없다. 막대가 진동하는 동안 원궤도의 중심 $O$와 막대의 질량 중심 $C$사이의 거리는 $\frac R2$로 일정하고, $\theta$는 연직선과 선분 $\overline {OC}$가 이루는 각이다. $\theta = 0$에서 막대의 중력 퍼텐셜 에너지는 0이다.

연직면에 수직하고 중심 $O$를 지나는 회전축에 대한 막대의 관성 모멘트 $I_0$를 구하고, $\theta$에 대한 운동방정식을 구하시오.

막대의 질량중심 관성모멘트를 $I_{cm}$, 막대의 질량중심에서 중심$O$까지의 거리를 $\frac R2$이라고 할 때, $I_0$는 수직축 정리에 따라 다음과 같이 구할 수 있다.
$$I_0=I_{cm}+m(\frac{R}{2})^2$$
질량이$m$이고 길이가 $\sqrt3R$이며 밀도가 균일한 가느다란 막대의 질량 중심을 지나는 회전축에 대한 관성 모멘트$I_{cm}$는 $\frac{1}{12}m(\sqrt3R)^2$이다. 따라서$I_0$는
$$I_0=\frac{1}{12}m(\sqrt3R)^2+m(\frac{R}{2})^2\\ I_0=\frac{1}{4}mR^2+m(\frac{R^2}{4})\\ I_0=\frac{1}{2}mR^2$$
이다.

막대의 라그랑지안 $L$은 다음과 같다.
$$L=T-V$$
여기서 운동에너지 $T$와 퍼텐셜에너지$V$는 각각 다음과 같다.
$$\begin{align*} T&=\frac{1}{2}I_0\dot \theta^2\\[2ex] &=\frac12(\frac{1}{2}mR^2)\dot {\theta}^2\\[2ex] &=\frac{1}{4}mR^2\dot {\theta}^2\\[2ex] \end{align*}$$
$$\begin{align*} V=mg(\frac{R}{2}-\frac{R}{2}\cos\theta)\\[2ex] V=\frac{R}{2}mg(1-\cos\theta)\\[2ex] \end{align*}$$
따라서 $L$은
$$L=T-V\\ L=\frac{1}{4}mR^2\dot {\theta}^2-\frac{R}{2}mg(1-\cos\theta)\\$$
이다.

라그랑지 방정식은 다음과 같고 이를 풀어 운동방정식을 구할 수 있다.
$$\frac{d}{dt}\frac{dL}{d\dot \theta}-\frac{dL}{d \theta} =0\\[1ex] \frac{d}{dt}\frac{d}{d\dot \theta}\left [\frac{1}{4}mR^2\dot {\theta}^2-\frac{R}{2}mg(1-\cos\theta)\right] -\frac{d}{d\theta}\left [\frac{1}{4}mR^2\dot {\theta}^2-\frac{R}{2}mg(1-\cos\theta)\right]=0\\[1ex] \frac{1}{2}mR^2\ddot\theta-[-\frac{R}{2}mg(\sin\theta)]=0\\[1ex] \ddot\theta+\frac{g}{R}(\sin\theta)=0\\[1ex]$$

용수철에 연결되 사각형상자와 4개의 디스크바퀴로 이루어진 장난감 자동차

A toy car is made from a rectangular block of mass M and four disk wheels of mass m and radius R. The car is attached to a vertical wall by a spring with a spring constant k. The coefficient of static friction between the wheels of the car and the floor is µ_s. There is no friction in the axles of the wheels. Find the maximum amplitude of the car oscillation before the wheels begin to slip.

사각형상자와 4개의 디스크로 이루어진 장난감 자동차가 있다. 장난감 자동차는 용수철 상수가$k$인 용수철에 연결되어 있다. 사각형 상자와 디스크휠의 질량은 각각 $M, m$ 이다. 정지마찰계수는$\mu_s$이다. 미끄러지지 않는 최대 진폭을 구하여라.

라그랑지안$L$은 다음과 같다.
$$L=T-V$$
여기서 운동에너지 $T$와 퍼텐셜에너지$V$는 각각 다음과 같다.($I$는 디스크의 회전관성이다.)
$$T=\frac{1}{2}(M+4m)\dot x^2+4(\frac12I\dot\theta^2)\\ V=\frac{1}{2}kx^2$$
따라서 $L$은
$$L=T-V\\ L=\frac{1}{2}(M+4m)\dot x^2+2I\dot\theta^2-\frac{1}{2}kx^2$$
이다.
장난감 자동차가 미끄러지지 않기 위해서 상자의 이동거리$x$와 디스크의 회전한 거리 $R\theta$가 같아야 한다. 즉 구속조건은 다음과 같다.
$$f=x-R\theta=0\tag{1}$$
이로부터 $x$에대한 라그랑지 운동방정식을 세우면 다음과 같다.
$$\frac{d}{dt}\frac{dL}{d\dot x}-\frac{dL}{dx} -\lambda\frac{df}{dx}=0\\[1ex] \frac{d}{dt}\frac{d}{d\dot x}\left [\frac{1}{2}(M+4m)\dot x^2+2I\dot\theta^2-\frac{1}{2}kx^2\right] \\-\frac{d}{dx}\left [\frac{1}{2}(M+4m)\dot x^2+2I\dot\theta^2-\frac{1}{2}kx^2\right] -\lambda\frac{d}{dx}\left [x-R\theta \right]=0\\[1ex] (M+4m)\ddot x=-kx+\lambda\tag{2}\\$$
여기서 $-kx$는 운동방향의 반대로 작용하는 탄성력이다. 반대로 운동방향으로 작용하여 물체를 움직이는 $\lambda$는 마찰력이 될 것이다.

$\theta$에대한 라그랑지 운동방정식을 세우면
$$\frac{d}{dt}\frac{dL}{d\dot \theta}-\frac{dL}{d\theta} -\lambda\frac{df}{d\theta}=0\\[1ex] \frac{d}{dt}\frac{d}{d\dot \theta}\left [\frac{1}{2}(M+4m)\dot x^2+2I\dot\theta^2-\frac{1}{2}kx^2\right]\\-\frac{d}{d\theta}\left [\frac{1}{2}(M+4m)\dot x^2+2I\dot\theta^2-\frac{1}{2}kx^2\right]-\lambda\frac{d}{d\theta}\left [x-R\theta \right]=0\\[1ex] 4I\ddot\theta+R\lambda=0$$
디스크의 회전관성$I$는$\frac{1}{2}mR^2$이므로
$$4(\frac 12mR^2)\ddot\theta+R\lambda=0\\ \lambda=-2mR\ddot\theta\tag{3}$$
이다. 이때 $R\ddot\theta$은 수식 (1)로부터
$$\boxed{ \begin{align*} f=x-R\theta&=0\dots(1)\\ \Rightarrow R\ddot\theta=& \ddot x \end{align*} }$$
이므로 이를 (3)에 대입하면
$$\lambda=-2m\ddot x \tag{4}$$
이다. 즉 마찰력$\lambda$은 $\ddot x$에 따라 계속해서 변화한다. $x$의 일반해로 부터 $\ddot x$을 다음과 같이 구할 수 있다.
$$x=A\sin\omega t\\ \Rightarrow \ddot x =-A\omega^2\sin\omega t$$
이때 $A$는 우리가 구하고자 하는 최대 진폭이다.
따라서 (4)는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
$$\lambda=-2m(-A\omega^2\sin\omega t)$$
$\lambda$의 최댓값$\lambda_{max}$은 $\sin$이 $1$이 될 때 이므로, 다음과 같다.
$$\lambda_{max}=2Am\omega^2\tag{5}$$
또한 장난감 자동차에 작용하는 마찰력$\lambda$는 미끄러지지 않기 위해서 다음과 같이 최대 정지 마찰력 보다 작아야 한다.
$$\lambda\leq\mu_s N$$
이때, $N$은 장난감 자동차에 작용하는 수직항력이므로 장난감 자동차에 작용하는 중력의 크기$(M+4m)g$와 같다. 따라서
$$\lambda\leq\mu_s (M+4m)g$$
이다.
정리하면 $\lambda_{max}=\mu_s (M+4m)g$이다. 여기에 수식 (5)를 대입하여 A대하여 풀면 다음과 같다.
$$2Am\omega^2=\mu_s (M+4m)g\\[2ex] A=\frac{\mu_s (M+4m)g}{2m\omega^2}\tag{6}\\$$
이다.
이때 $\omega$는 수식(2),(4)으로 부터 다음과 같다.
$$\boxed{ \begin{align*} (M+4m)\ddot x=-kx+\lambda\qquad(2)\\ \lambda=-2m\ddot x \qquad{(4)}\\ \\ (M+4m)\ddot x^2+kx+2m\ddot x=0\\ (M+6m)\ddot x^2+kx=0\\ \ddot x^2+\frac{k}{(M+6m)}x-\frac{\lambda}{(M+6m)}=0\\[1ex] \Rightarrow \omega^2=\frac{k}{(M+6m)} \end{align*} }$$
이를 (6)에 대입하면 다음과 같다.
$$A=\frac{\mu_s (M+4m)g}{2m\omega^2}\\[1ex] A=\frac{\mu_s(M+6m) (M+4m)g}{2mk}$$

내가 헷갈린 부분
위 문제 풀이에서$\omega$를 구하기 위해 (2)번 수식에 (4)번 수식을 대입하고 일반해의 형태에서$\omega$값을 구했다.
그런데 처음 풀 때는 (4)번 수식을 활용하지 않고 (2)번 수식만을 가지고 다음의 형태에서 $\omega$를 구했다.
$$\boxed{ \begin{align*} (M+4m)\ddot x=-kx+\lambda\qquad(2)\\ \\ \ddot x^2+\frac{k}{(M+4m)}x-\frac{\lambda}{(M+4m)}=0\\[1ex] \Rightarrow \omega^2=\frac{k}{(M+4m)} \end{align*} }$$
왜냐하면 $\lambda$를 상수라고 생각했기 때문이다.
그런데 $\lambda$는 상수가 아니다. (4) 수식에서 알 수 있듯 $\lambda$는 $x$변수를 포함한다. 따라서 (2)번 수식 만을 활용해 일반해의 형태를 쓰면 안된다. (4)번 수식을 대입해 정리한 후 풀어야 한다.