실에 매달린 물체가 회전할 때, 실에 걸리는 장력

실에 매달린 물체가 회전할 때, 실에 걸리는 장력

그림과 같이 질량이 $m=0.4kg$인 물체가 막대$AB$에 각각의 길이 $L=2m$에 연결되어 있다. 막대$AB$는 각속도$\omega=4rad/s$로 회전하고 있다. 이때 두 줄 사이의 각은$60^\circ$를 이루고 있다. 두 줄에 걸리는 장력을 각각 $T_1, T_2$라고 하자. $T_1, T_2$는 얼마인가?

회전축으로부터 멀어지는 방향을 $\hat{r}$, 회전축방향을 $\hat{z}$라고 할 때, 물체가 받는 수평방향 힘과 수직방향 힘을 살펴보자.
$\hat{r}$방향 힘의 합력$\sum \vec F_r$은 다음과 같다.
$$\sum\vec F_r = -T_1cos\theta\widehat{r}-T_2cos\theta\widehat{r} \tag{1}$$
$\hat{z}$방향 힘의 합력$\sum \vec F_z$은 다음과 같다.
$$\sum\vec F_z = T_1\sin\theta\hat{r}-(T_2 \sin\theta+mg)\hat{r}=0 \tag{2}$$
$\hat{r}$방향 힘 $\sum \vec F_r$에 의해 물체는 원 운동한다. 수식(1)로부터 $\sum \vec F_r$을 알고 있으므로, 뉴턴 제 2법칙에 따라 운동방정식을 세워보면 $$\begin{align*} \sum \vec F_r&= m \vec a_{rad}\\ \sum F_r&= m a_{rad}\\ -T_1 cos\theta -T_2 cos\theta &= - m (R \omega^2) \\ -T_1 \cancel{cos\theta} -T_2 \cancel{cos\theta} &= - m (L \cancel{cos\theta} \omega^2)\\ T_1 +T_2 &= m (L \omega^2) \end{align*}$$
이때 $T_1$ 수식(2)로부터 구할 수 있다.
$$\boxed{ \begin{align*} T_1\sin\theta\hat{r}-(T_2 \sin\theta+mg)\hat{r} &=0 \dots(2)\\ T_1\sin\theta\ =T_2 \sin\theta+mg\\ \Rightarrow T_1 = T_2 + \frac {mg} {\sin\theta}\qquad(3) \end{align*} }$$
이를 대입하면
$$\begin{align*} T_2 + \frac {mg} {\sin\theta} +T_2 &= m (L \omega^2)\\ 2T_2 &= m (L \omega^2)- \frac {mg} {\sin\theta}\\ T_2 &= \frac{1}{2}\{m (L \omega^2)- \frac {mg} {\sin\theta}\}\\ T_2 &= \frac{1}{2}\{(0.4\mathrm{kg}) (2\mathrm{m}) (4\mathrm{rad/s})^2- \frac {(0.4\mathrm{kg})(10\left.\mathrm{m}\middle/\mathrm{s}\right.)}{\frac{1}{2}} \}\\ T_2 &=2.4\mathrm{N} \end{align*}$$
이다.
$T_2$를 수식 (3)에 대입하여 $T_1$을 구하면 다음과 같다.
$$\begin{align*} T_1 &= T_2 + \frac {mg} {\sin\theta}\\ T_1 &=2.4\mathrm{N} + \frac {(0.4\mathrm{kg})(10\left.\mathrm{m}\middle/\mathrm{s}\right.)} {\frac{1}{2}}\\ T_1 &= 10.4\mathrm{N} \end{align*}$$