운동하는 물체가 마찰과 공기저항을 받을 때, 정지하는데 까지 걸리는 시간

그림과 같이 수평면에 놓인 질량$m$인 물체가 시간 $t=0$일 때 속력 $v_0$으로 직선 운동을 시작하여 $t=t_{stop}$에 정지하였다. 물체는 운동하는 동안 속력$v$에 비례하는 크기가 $kv$인 공기에 의한 저항력을 받는다. 그리고 수평면으로부터 크기가 $f$인 운동 마찰력을 받는다. $t_{stop}$을 구하라

물체의 $t=0$ 위치로부터, 임의의 시간$t$가 지났을 때 물체의 위치를 $\vec x$라고 하자.
물체가 받는 $\hat x$ 방향 알짜힘$\sum\vec F_x$는 다음과 같다.
$$\sum\vec F_x = -k\vec v-\vec f$$
따라서 뉴턴 제 2법칙으로부터 운동방정식을 다음과 같이기술할 수 있다.
$$\begin{align*} m\vec a&=\sum\vec F_x \\ m\vec a&= -k\vec v-\vec f \end{align*}$$
힘의 크기만 생각해 보기로 하면 다음과 같다.
$$m a= -k v- f$$
이때 $a$, $v$는 각각 $\ddot x$, ${\dot x}$으로 쓸 수 있으므로
$$m{\ddot x}= -k{\dot x}-f\\ m {\ddot x} +k{\dot x}+ f=0\\ {\ddot x} +\frac{k}{m} {\dot x}+\frac{ f}{m}=0$$
이다. 여기서 ${\ddot x}$은 정의로부터 ${\ddot x}=\frac{d {\dot x}}{dt}$ 이므로
$$\frac{d {\dot x}}{dt}+\frac{k}{m} {\dot x}+\frac{ f}{m}=0\\ \frac{d {\dot x}}{dt}=-(\frac{k}{m} {\dot x}+\frac{ f}{m})\\$$
이다. 변수분리 후, 처음 $t=0, \dot x = v_0$에서부터 물체가 정지하는 $t=t_{stop}, \dot x = 0$까지 양변을 적분하면
$$d {\dot x}=-(\frac{k}{m} {\dot x}+\frac{ f}{m})dt\\[2ex] \int_{\dot x = v_0} ^{0}\frac{-1}{(\frac{k}{m} {\dot x}+\frac{ f}{m})}d {\dot x}=\int _{t=0} ^{t=t_{stop}}dt\\[2ex] t_{stop}=-\frac{m}{k} \left[\ln{(\frac{k}{m} {\dot x}+\frac{ f}{m})}\right]_{\dot x = v_0} ^{0} \\[2ex] t_{stop}=\frac{m}{k} \left[\ln{(\frac{k}{m} {\dot x}+\frac{ f}{m})}\right]_{0} ^{\dot x = v_0} \\[2ex] t_{stop}=\frac{m}{k} \ln \frac{ {(\frac{k}{m} {v_0}+\frac{ f}{m})}}{\frac{f}{m}} \\[2ex] t_{stop}=\frac{m}{k} \ln { {(\frac{k}{f} {v_0}+1)}} \\[2ex]$$
이다.